SISTEMAS NUMÉRICOS
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
¿Qué
es un sistema numérico?
Un sistema numérico es un método estructurado que utiliza
símbolos y reglas específicas para representar cantidades. No es simplemente
una colección de números; es una construcción matemática que responde a tres
elementos fundamentales:
🔹 Un
conjunto definido de símbolos
Es el grupo de caracteres permitidos dentro del sistema. Se llama
“conjunto” porque está limitado y claramente establecido; no se pueden usar
símbolos fuera de ese grupo.
Ejemplo:
- En el sistema decimal, el
conjunto es {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
- En el binario, el conjunto
es {0,1}.
Si se escribe un símbolo que no pertenece al conjunto, el número deja de
ser válido en ese sistema.
🔹
Reglas para combinar esos símbolos
Son las normas que determinan cómo pueden organizarse los símbolos para
formar números válidos.
Estas reglas establecen:
- El orden permitido.
- El significado de la
posición.
- Las restricciones en la
escritura.
Por ejemplo, en un sistema posicional:
- No puede aparecer un dígito
mayor que la base menos uno.
- La posición determina el
valor multiplicativo.
Sin reglas claras, los símbolos no tendrían significado matemático.
🔹 Una
forma específica de interpretar el valor
Es el principio que indica cómo se obtiene la cantidad representada.
En sistemas posicionales:
- Se interpreta mediante la
suma de potencias de la base.
En sistemas no posicionales:
- Se interpreta sumando o
restando valores de los símbolos.
Este elemento es fundamental porque convierte una simple cadena de
símbolos en una cantidad concreta.
Características
generales de un sistema numérico
✔
Conjunto de símbolos limitado
El número de símbolos es finito y fijo.
Esto garantiza coherencia y evita ambigüedades en la escritura de números.
✔
Organización estructurada
Los números siguen una estructura interna definida.
En sistemas posicionales:
- Cada posición tiene un peso
determinado por potencias de la base.
En sistemas no posicionales:
- La organización responde a
reglas aditivas o sustractivas.
✔
Coherencia matemática
El sistema debe permitir realizar operaciones aritméticas de forma
consistente.
Algunos sistemas antiguos dificultaban el cálculo por no tener estructura
posicional.
✔
Capacidad de expansión
Debe permitir representar cantidades grandes sin necesidad de crear
nuevos símbolos constantemente.
Qué es la base de un sistema numérico?
La base es el número total de símbolos distintos que posee un
sistema posicional.
Además, determina:
- El
valor máximo de cada dígito,
que siempre será base − 1.
- El
crecimiento del valor posicional,
ya que cada posición vale la base multiplicada por la anterior.
- La
estructura matemática completa,
porque todo número puede expresarse como suma de potencias de la base.
Sistemas posicionales y no posicionales
🔹
Sistema Posicional
El valor del símbolo depende de su posición.
Características:
- Tiene base definida.
- Usa potencias de la base.
- El mismo símbolo puede
representar valores distintos según su ubicación.
- Permite cálculos
sistemáticos y algoritmos formales.
🔹
Sistema No Posicional
El valor del símbolo no depende de su posición.
Características:
- No utiliza base matemática.
- El valor del símbolo es
fijo.
- Se basa en suma o resta.
- Es menos eficiente para
cálculos complejos.
Valor absoluto y valor posicional
- Valor
absoluto: valor propio del dígito.
- Valor posicional: valor real según la posición que ocupa.
Ejemplo:
En 407, el 4 tiene valor absoluto 4, pero valor posicional 400.
Notación con subíndices
Cuando se trabaja con números expresados en distintas bases, para evitar
ambigüedades o confusiones ya que se usan símbolos comunes en estos sistemas
numéricos, se debe aclarar en qué sistema se está escribiendo el número a
través del uso de un subíndice que indica la base de dicho sistema. Ejemplos:
- 101(2) à esto es un número binario.
- 47(8) à esto es un número octal.
- 2A(16) à esto es un número hexadecimal.
Esto evita confusiones y especifica el sistema utilizado.
Importancia histórica y práctica
- Los primeros sistemas eran
no posicionales.
- El sistema decimal
posicional revolucionó el cálculo.
- El sistema binario permitió
el desarrollo de la informática moderna.
Comprender los sistemas numéricos es comprender el lenguaje de la
tecnología actual.
SISTEMA DECIMAL
Sistema numérico posicional de base 10 utilizado universalmente.
Base
10
Características
- Es
posicional.
El valor de cada dígito depende del lugar que ocupa dentro del número. - Utiliza
potencias de 10.
Cada cifra se multiplica por una potencia de diez según su posición. - Cada
posición vale diez veces más que la anterior.
Esto explica la estructura de unidades, decenas, centenas, etc. - Permite
representar números enteros y decimales.
Gracias al punto decimal puede expresar fracciones con precisión. - Es
intuitivo para el ser humano.
Su origen histórico está relacionado con el conteo con los dedos.
Uso
- Comercio
y economía, porque es el sistema
oficial en transacciones.
- Sistema
métrico decimal, ya
que las unidades se organizan en múltiplos de diez.
- Educación
matemática, porque es el sistema
estándar de enseñanza.
- Ciencia
y tecnología, donde se presentan
resultados numéricos.
SISTEMA BINARIO
¿Qué es?
Sistema numérico posicional de base 2.
Base
2
Características
- Solo
tiene dos símbolos: 0 y 1.
Esto simplifica su estructura y reduce combinaciones posibles. - Cada
posición representa una potencia de 2.
El valor se duplica en cada posición hacia la izquierda. - Es
compatible con sistemas electrónicos.
Los dispositivos digitales operan con dos estados físicos. - Representa
información mediante estados físicos.
0 puede asociarse a apagado y 1 a encendido. - Es la
base del lenguaje de máquina.
Todo programa se traduce finalmente a código binario.
Uso
- Computadores, donde toda la información se procesa en
binario.
- Microprocesadores, que ejecutan instrucciones binarias.
- Memorias
digitales, que almacenan datos en
bits.
- Sistemas
de codificación, que
convierten datos en secuencias binarias.
SISTEMA OCTAL
¿Qué es?
Sistema numérico posicional de base 8.
Base
8
Características
- Utiliza
ocho símbolos (0–7).
No puede incluir el 8 como dígito válido. - Cada
posición representa una potencia de 8.
El valor se multiplica por ocho en cada nueva posición. - Es más
compacto que el binario.
Reduce la cantidad de dígitos necesarios. - Facilita
la lectura de números binarios largos.
Permite simplificar cadenas extensas de bits. - Mantiene
todas las propiedades de un sistema posicional.
Permite operaciones matemáticas coherentes.
Uso
- Sistemas
informáticos antiguos,
donde se empleaba con frecuencia.
- Representación
abreviada del binario, para
simplificar escritura.
- Programación
clásica, especialmente en etapas
tempranas de la informática.
SISTEMA HEXADECIMAL
¿Qué es?
Sistema numérico posicional de base 16.
Base
16
Características
- Utiliza
dieciséis símbolos (0–9 y A–F).
Las letras representan valores del 10 al 15. - Cada
posición representa una potencia de 16.
El valor crece multiplicándose por dieciséis. - Es más
compacto que el binario y el octal.
Permite expresar grandes valores con menos caracteres. - Facilita
la representación de datos digitales complejos.
Simplifica la lectura de información binaria extensa. - Es
ampliamente utilizado en programación.
Muchos lenguajes permiten definir números hexadecimales.
Uso
- Direcciones
de memoria, para identificar
ubicaciones internas.
- Código
máquina, donde las instrucciones
se visualizan en hexadecimal.
- Diseño
web, para representar colores
digitales.
- Depuración
de software, porque facilita analizar
datos binarios.
- Sistemas
electrónicos especializados,
donde se configuran parámetros numéricos.
